Ч. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ

РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН.

         Об эвристическом подходе к нелинейным волновым уравнениям. Эталонные уравнения теории нелинейных волн. Нелинейные волны в среде без дисперсии. Уравнение простой волны. Укручение и опрокидывание волн. Среда с диссипацией: уравнение Бюргерса. Ударные волны. Среда с высокочастотной дисперсией: уравнение Кортевега–де Вриза (КдВ). Уединенные волны и солитоны. Обобщения на неодномерный случай: уравнения Хохлова–Заболотской и Кадомцева–Петвиашвили. Среда с дисперсией в области низких частот: нелинейное уравнение Клейна–Гордона. Среда с дисперсией и диссипацией: уравнение КдВ–Бюргерса. Распространение огибающей волнового пакета: нелинейное уравнение Шредингера. Солитоны огибающей. Нелинейные волны в средах с неустойчивостью. Уравнение Гинзбурга–Ландау.

РАЗДЕЛ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ.

Уравнение простой волны. Решение методом характеристик. Переменные Эйлера и переменные Лагранжа. Поток невзаимодействующих частиц. О группировке электронов в пролетном клистроне. Решение Римана. Графический анализ опрокидывания профиля волны. Распространение гармонического сигнала. Спектр опрокидывающейся волны: решение Бесселя–Фубини.

Образование разрывов в простой волне. Определение координаты разрыва. Граничное условие на разрыве. Слабые разрывы. Центрированная волна разрежения. Динамика амплитуды разрыва. Пилообразная волна и ее спектр. Распространение треугольного импульса. Распространение биполярного импульса: N-волна. Волны от движущегося источника. Взаимодействие разрывов.

Простые волны в примерах. Общий случай системы гиперболических уравнений. Критерий гиперболичности. Примеры гиперболических систем. Простые волны в газовой динамике. Инварианты Римана. Волны на поверхности «мелкой воды». Задача о разрушении плотины. Ионный звук в плазме. Волны в автомобильном потоке. Граничные условия на разрыве в общем случае и их связь с законами сохранения. Законы сохранения уравнений «мелкой воды». Диссипация энергии на разрыве.

Уравнение Бюргерса. Метод точного решения уравнения Бюргерса: преобразование Коула–Хопфа. Предельный переход к уравнению простой волны. Решение в виде стационарной ударной волны. Распространение периодического сигнала: решение Хохлова и его спектр (решение Фэя). Распространение импульсов: одиночный горб, N-волна. Слияние ударных волн. Автомодельные решения.

Примеры ударных волн. Ударные волны. Задача о сильном точечном взрыве в атмосфере и ее решение при помощи метода размерностей. Примеры ударных волн естественного происхождения: гром, землетрясения, извержения вулканов, падение метеоритов. Ударные волны, искусственно создаваемые на земле. Об ударных волнах в космосе: ударные волны в магнитосфере Земли, вспышки на Солнце, взрывы сверхновых.

РАЗДЕЛ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ.

История открытия солитона. Дж. Скотт Рассел и открытие солитона. Проблема Ферми–Пасты–Улама (ФПУ). Ее связь с уравнениями Буссинеска и Кортевега–де Вриза. Возвращаемость ФПУ. Работа Забуски и Крускала и взаимодействие солитонов.

Стационарные нелинейные волны. Уравнение КдВ: кноидальные волны и солитоны. Модифицированное уравнение КдВ. Уравнение Буссинеска. Стационарные ударные волны в среде с диссипацией и дисперсией: уравнение КдВ–Бюргерса. Уравнение Sin–Гордона: стационарные решения и физические примеры. Стационарные ионно-акустические и ленгмюровские волны в плазме. Уединенные волны в электронном потоке. Электромагнитные волны в нелинейной диэлектрической среде.

Уравнение Кортевега–де Вриза в конкретных физических задачах. Метод медленно меняющегося профиля. Конкретные примеры: ионно-акустические волны в плазме, гравитационные волны на поверхности мелкой воды, ленгмюровские волны в тонком плазменном цилиндре. Электромагнитные волны в нелинейных линиях передачи. Газовая динамика и уравнение Бюргерса.

Модулированные волны в нелинейных средах. Теория Уизема. Нелинейное дисперсионное соотношение, законы сохранения волнового числа и волнового действия. Критерий Лайтхилла. Модуляционная неустойчивость (неустойчивость Бенджамена–Фейра). Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ). Метод многих масштабов. Неустойчивость пространственно-однородного решения. Решение в виде солитона огибающей. «Светлые» и «темные» солитоны. Электромагнитные волны в нелинейном диэлектрике. Солитоны в волоконных световодах. Самофокусировка света.

Трехволновые параметрические взаимодействия в квадратично-нелинейной среде. Уравнения трехволнового взаимодействия. Распадная (параметрическая) неустойчивость. Взрывная неустойчивость. Оптические параметрические усилители и генераторы. Вынужденное рассеяние электромагнитной волны на релятивистском электронном пучке, лазер на свободных электронах.

Авторы - д.ф.-м.н., профессор А.П. Кузнецов и к.ф.-м.н., доцент О.Б. Исаева

Раздел 1. Основные понятия

1.1. Аппроксимации в математике и физике и стратегия конструирования многопараметрических моделей. Идея аппроксимации в математике. Аппроксимации в физике и физические модели. Ряд Тейлора и его использование для конструирования многопараметрических моделей, примеры. Полнота и универсальность моделей, получаемых при помощи Тейлоровских аппроксимаций.

1.2. Типичность по Пуанкаре и связанные с ней понятия. Интуитивное представление о типичности. Случаи общего положения и вырожденные случаи. Метод «малых шевелений» параметров. Классификация вырожденных ситуаций по коразмерности. Примеры ситуаций различной коразмерности. Стратегия Пуанкаре исследования динамических систем по возрастающей коразмерности. Понятие грубых (структурно устойчивых) систем.

1.3. Первые сведения о катастрофах. Примеры систем с катастрофами: материальная точка в одномерном и двумерном потенциальном поле, нагруженная балка, остойчивость судов и др. Машина Зимана и качалки. Связь и отличия теории катастроф и теории бифуркаций.

1.4. Критические точки функций одной переменной. Критические точки и их роль при исследовании катастроф и бифуркаций. Некоторые простейшие критические точки функций одной переменной. Исследовательская схема теории катастроф — выявление существенных параметров, роль замен переменных, классификация критических точек по коразмерности — на примере анализа простейших полиномов.

1.5. Критические точки функций двух переменных. Графическое представление функций двух переменных с помощью линий уровня. Примеры: горизонтали и карты, эквипотенциали, фазовые портреты. Критические точки функций двух переменных, примеры. Матрица Гессе и примеры ее использования для различения вырожденных критических точек. Квадратичные формы и их классификация.

1.6. Кубики и их классификация. Типичные критические точки на картах. Случай n-переменных и определение морсовской критической точки (морсовского седла).

1.7. Математические основы теории катастроф. Лемма Морса. Лемма расщепления. Классификационная теорема Тома. Ростки и возмущения. Полнота и универсальность моделей теории катастроф.

Раздел 2. Свойства катастроф

2.1. Катастрофа складки. Схема исследования катастроф на примере складки (многообразие катастрофы, бифуркационное множество, трансформации потенциальной функции). Катастрофа складки в системе двух притягивающихся токов. Другие примеры систем, демонстрирующих катастрофу складки.

2.2. Катастрофа сборки. Исследование катастрофы сборки. Двойственные сборки. Примеры катастрофы сборки: «опрокидывающийся маятник» с нелинейной пружиной, критическая точка газа Ван дер Ваальса, туннельный диод в схеме с регулируемыми сопротивлением и э.д.с. Другие примеры катастрофы сборки. Катастрофа сборки и теория гладких отображений Уитни. Сборки как особенности простейших кривых. Эволюта параболы и ее описание в терминах многообразия катастрофы сборки. Линейчатые поверхности.

2.3. Катастрофа ласточкин хвост. Исследование катастрофы ласточкин хвост. Пример системы, демонстрирующей катастрофу ласточкин хвост.

2.4. Каспоидные катастрофы в двумерных системах. Катастрофа складки в двумерной системе на примере задачи о «выкатывании» шарика из лунки. Эволюция потенциального рельефа, линий уровня и сепаратрис при катастрофе складки в двумерных системах. Физически различимые типы катастроф сборки в двумерных системах, примеры. Эволюция линий уровня и сепаратрис при катастрофе сборки. Поиск каспоидных катастроф в двумерных системах и особенности их приведения к канонической форме (возможность катастрофы сборки в случае кубического потенциала).

Понятие о нелокальных бифуркациях на примере модельного потенциала. Трансформации потенциального рельефа и линий уровня при простейшей нелокальной бифуркации коразмерности один. Почему нелокальные бифуркации не относятся к катастрофам? Понятие нелокального бифуркационного множества. Нелокальное бифуркационное множество при катастрофе сборки в двумерных системах. Маятник между двух заряженных нитей, как пример системы, характеризующейся нелокальным бифуркационным множеством.

2.5. Катастрофы эллиптической и гиперболической омбилик. Исследование катастрофы эллиптической омбилики. Нелокальное бифуркационное множество катастрофы эллиптической омбилики. Пример системы, демонстрирующей катастрофу эллиптической омбилики. Эксперименты Тейлора, картина течений для n-валковых «мельниц». Исследование катастрофы гиперболической омбилики.

2.6. Катастрофы и бифуркации. Понятие о бифуркациях. Связь теории катастроф и теории бифуркаций. Соответствие простейших катастроф и бифуркаций.

Раздел 3. Физические приложения теории катастроф

3.1. Задача о выпучивании упругого стержня. Как описать задачу о выпучивании стержня с помощью конечномерной потенциальной функции? (Метод Рэлея–Ритца). Вырожденная катастрофа сборки в задаче о выпучивании стержня. Степенные законы в окрестности точки катастрофы. Влияние асимметрии. Бифуркационные диаграммы в случаях симметричного и несимметричного выпучивания. Выпучивание стержня в многомодовом приближении.

3.2. Фазовые переходы и катастрофы. Теория Ландау фазовых переходов второго рода: термодинамический потенциал и параметр порядка, разложение термодинамического потенциала в ряд по параметру порядка. Вырожденная катастрофа сборки и фазовые переходы второго рода. Законы изменения термодинамических функций в окрестности точки катастрофы. Фазовые переходы во внешнем поле и полная катастрофа сборки («размывание» перехода второго рода, переходы первого рода, метастабильные состояния). Критическая точка фазового перехода второго рода. Эволюция термодинамического потенциала как функции параметра порядка в окрестности этой точки. Трикритический потенциал и трикритическая точка. Устройство пространства параметров в окрестности трикритической точки. Понятие о мультикритических явлениях.

3.3. Катастрофы в геометрической оптике. Примеры катастроф. Каустики. Опыты с цилиндрической чашкой. Каустики и сборки при отражении света.

3.4. Волновые фронты и их особенности. Волновой фронт, испускаемый параболической поверхностью. Захлест волнового фронта и образование особенности типа ласточкин хвост. Геометрическое место точек сборки волнового фронта (каустика) — полукубическое острие. Особенности в трехмерном пространстве.

3.5. Специальные кривые и их особенности.  Циклоидальные кривые с особенностью типа сборки. Эволюта — огибающая системы нормалей. Эволюта параболы — полукубическое острие. Эволюта циклоиды — циклоида. Эвольвента — геометрическое место точек центров кривизны. Эвольвента полукубического острия и циклоиды. Изохронный маятник Гюйгенса.

Автор: д.ф.-м.н., профессор Кузнецов А.П.

Раздел 1. Динамические система. Основные определения, примеры и свойства.

1.1 О классификации динамических систем. Потоковые системы и отображения. Диссипативные и консервативные системы, характер эволюции облака точек в фазовом пространстве. Аттракторы. Размерность фазового пространства, возрастание многообразия и сложности аттракторов при ее увеличении. Простейшие примеры дискретных отображений: цепочка сопротивлений и биологическая популяция. Метод сечений Пуанкаре. О взаимосвязи потоков и отображений. Обратимые и необратимые отображения. Автономные и неавтономные динамические системы. Вид сечения Пуанкаре для неавтономных систем.

1.2 Примеры динамических систем. О мотивации ввода в рассмотрение динамических систем в нелинейной динамике. Кинетические уравнения и закон соответственных состояний. Брюсселятор. Понятие о колебательных химических реакциях. Орегонатор. Система Реслера как искуственная модель химической кинетики. Ускорение Ферми и задачи с соударениями. Модель Улама. Модель Заславского и Чирикова (шарик на вибрирующем столе), построение дискретного отображения в предположении малости амплитуды колебаний, его диссипативность и обратимость. Система с вязким трением под импульсным воздействием, отображения типа Эно и отображение Эно, их диссипативность и обратимость. Логистическое отображение, кубическое отображение, их необратимость. Генератор релаксационных колебаний с регулируемым уровнем срыва. Отображение окружности, представление его динамики на ограниченном участке итерационной диаграммы. Когда это отображение необратимо?

Раздел 2. Простейшие бифуркации потоков

2.1 Бифуркации одномерных потоковых систем. Связь теории бифуркаций и теории катастроф в случае одномерных систем. Классификация бифуркаций по коразмерности. Бифуркация седло-узел. Транскритическая бифуркация. Бифуркация "вилка". Связь различных бифуркационных диаграмм при двухпараметрическом анализе. Субкритическая и суперкритическая формы бифуркаций.

2.2 Бифуркации одномерных потоков в двумерных системах. В чем не тривиальность проблемы (по Пригожину)? Консервативный осциллятор вблизи точек катастроф. Зависимость частоты от параметров и феномен смягчения мод. Физические примеры. Степенные законы вблизи точек катастроф. Случай диссипативного осциллятора. Превращения фокусов в узлы вблизи точек катастроф, или почему не возможна бифуркация "седло-фокус". Замедление времени и универсальность бифуркаций. Фазовые портреты бифуркаций одномерных потоков в двумерных системах.

2.3 Бифуркация Андронова-Хопфа. О возможности бифуркаций динамических систем, не имеющих аналогов в теории катастроф. Бифуркация Андронова-Хопфа и ее универсальность. Эволюция точек в трехмерном фазовом пространстве у порога бифуркации Андронова-Хопфа и понятие о центральном многообразии. "Линейная часть" задачи и ее приведение к каноническому виду в формализме медленных амплитуд. Роль нелинейности и универсальные уравнения для медленных амплитуд. Конфигурация родившегося предельного цикла в канонических переменных и в исходном фазовом пространстве. Порог бифуркации Андронова-Хопфа в двумерных системах. Порог бифуркации Андронова-Хопфа в трехмерных системах.

2.4 Другие бифуркации двумерных потоков. Бифуркация рождения предельного цикла из сгущения фазовых траекторий и ее объяснения в терминах медленных амплитуд. Нелокальные бифуркации коразмерности один: появление и распад седловой связки, рождение предельного цикла из петли сепаратрисы, рождение предельного цикла из общей сепаратрисы седла и узла. Бифуркации коразмерности два. "Критическая точка" линии бифуркации Андронова-Хопфа (превращение линии субкритической бифуркации в суперкритическую) и ее связь с бифуркацией рождения предельного цикла из сгущения фазовых траекторий. Сборка линий бифуркаций рождения предельного цикла из сгущения траекторий и аналог бифуркации "вилка" для циклов. Бифуркация "общая точка бифуркаций Андронова-Хопфа и седло-узел", ее связь с рождением предельного цикла из петли сепаратрисы.

2.5 От двумерных потоков - к одномерным отображениям. Метод сечений Пуанкаре для двумерных потоков. Различные примеры фазовых портретов и соответствующих итерационных диаграмм. Проблема реконструкции одномерного отображения. Обратимость отображений, связанных с двумерными потоками.

Раздел 3. Отображения и их бифуркации

3.1 Простейшие свойства одномерных отображений. Неподвижные точки. Устойчивые и неустойчивые неподвижные точки. Характер сходимости (расходимости) вблизи неподвижной точки. Мультипликатор и его геометрическая интерпретация. Критерий устойчивости неподвижной точки. Примеры итерационных диаграмм для разных значений мультипликатора. Циклы. Связь задачи о поиске N-цикла с задачей поиска неподвижной точки. Мультипликатор цикла и его выражения в виде произведения производных. Примеры вычисления мультипликатора цикла. Понятие о циклах максимальной устойчивости. О многообразии циклов на примере логистического отображения.

3.2 Бифуркации коразмерности один. Касательная бифуркация. Движение изображающей точки по "коридору" вблизи порога бифуркации, описание бифуркации с помощью дифференциального уравнения и оценка времени прохождения "коридора". Бифуркация типа "вилка". Субкритические формы касательной бифуркации и бифуркации типа "вилка". Бифуркация удвоения периода. Рождение 2-цикла в логистическое отображении и исследование устойчивости этого цикла. Картина удвоений "в терминах" двукратно проитерированного отображения. Свойства таких отображений и производная Шварца. Бифуркация "жесткий переход через мультипликатор -1" как альтернатива удвоению периода. Бифуркации циклов. От локального к глобальному бифуркационному анализу: каскады удвоений периода, бифуркационное дерево логистического отображения и обсуждение его структуры.

3.3 Бифуркации коразмерности два. Точка сборки касательных бифуркаций. Точка превращения линии удвоения в линию жесткого перехода - flip-бифуркация коразмерности два. Характерные конфигурации области устойчивости циклов на плоскости параметров, ситуации "crossroad area" и "spring area". Мультистабильность и "мнголистная" структура плоскости параметров мультимодальных отображений. От локального к глобальному двухпараметрическому бифуркационному анализу: примеры сосуществования бифуркационных линий и точек различных циклов на плоскости параметров. Карты динамических режимов.

3.4 Понятие о критических явлениях. Почему бифуркации удвоения образуют каскад? Накопление удвоений. Критическая точка. Закон Фейгенбаума и его универсальная константа. Законы расщепления на бифуркационном дереве и вторая универсальная константа Фейгенбаума. Понятие о скейлинге. Скейлинг на оси управляющего параметра. Скейлинг на бифуркационном дереве. Удвоения периода в двухпараметрических отображениях. Связь бифуркационных "сценариев" и маршрутов на плоскости параметров. Ситуация коразмерности один, связанная с условием отображения "экстремум в экстремум" на примере кубического отображения. Доказательство наличия экстремума четвертой степени у двукратного проитерированного отображения. Трикритические точки и устройство карт динамических режимов в их окрестности. Двухпараметрический скейлинг.

3.5 Двумерные отображения. Неподвижные точки двумерных отображений. Матрица монодромии и мультипликаторы. Примеры различных вариантов динамики на фазовой плоскости в окрестности неподвижной точки, связь с величинами мультипликаторов. Случаи действительных и комплексных мультипликаторов. Устойчивость неподвижной точки. Границы области устойчивости и областей действительных и комплексных мультипликаторов на плоскости след - якобиан матрицы монодромии. Циклы двумерных отображений. Матрица монодромии и мультипликаторы циклов.

3.6 Бифуркации, характерные для одномерных отображений в случае двух измерений.Отображения с постоянным якобианом, ограничения на вид бифуркаций для таких отображений. Касательная бифуркация в отображении Эно. Бифуркация удвоения периода неподвижной точки отображения Эно. Эволюция мультипликаторов на комплексной плоскости при изменении параметров от точки касательной бифуркации до бифуркации удвоения периода. Поиск 2-цикла отображения Эно и анализ его устойчивости.

3.7 Бифуркация Неймарка. Модельное отображение в случае произвольного якобиана. Карта динамических режимов модельного отображения. Аттракторы в виде инвариантных кривых и циклов, эволюция изображающей точки на этих аттракторах. Языки синхронизации. Число вращения. Рациональные и иррациональные числа вращения. Примеры различных чисел вращения для одинаковой конфигурации цикла. Связь числа вращения с аргументом мультипликатора на линии J=1. Понятие об устойчивом и неустойчивом многообразии двумерных отображений. Конфигурация многообразий для цикла внутри языка синхронизации. Граница языка синхронизации как касательная бифуркация. Тонкая структура плоскости параметров в окрестности линии инвариантной кривой. Замечания о физическая реализация режимов, отвечающих инвариантной кривой.

3.8 Синхронизация и отображение окружности. Качественное объяснение перехода к отображению окружности при обсуждении проблемы синхронизации. Карта динамических режимов отображения окружности. Число вращения для отображения окружности. Примеры итерационных диаграмм для различных рациональных чисел вращения. Как меняется итерационная диаграмма при выходе через границы языка синхронизации? Уравнение для поиска элементов цикла и границ языка синхронизации для заданного числа вращения. Границы основного языка.

Раздел 4. Трехмерные потоки

4.1 От двумерных отображений к трехмерным потокам. Различные типы устойчивости предельных циклов в трехмерном пространстве и их объяснение с помощью сечений Пуанкаре. Примеры.

4.2 Простейшие бифуркации трехмерных потоков. Бифуркация удвоения периода передельных циклов. Цикл "удвоенного" периода как край ленты Мебиуса. Каскады удвоений в трехмерном фазовом пространстве. Бифуркация рождения тора и ее связь с бифуркацией Неймарка. Два масштаба времени, движения на торе, биения. Эргодические торы и квазипериодические режимы. Резонансные циклы на торах, рациональные числа вращения для трехмерных систем и их связь с числом вращения в сечении Пуанкаре. Как выглядят движение на торе и на резонансном цикле в проекции на координатную плоскость в фазовом пространстве? Торы на базе циклов удвоенного периода и понятие о многообразии бифуркаций торов и связанных с ними циклов.

Перечень литературы

1. П. Берже, И. Помо, К. Видаль. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. 368 с.

2. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. 312 с.

3. В.С. Анищенко. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990, 312 с.

4. М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984, 432 с.

5. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного М: Мир, 1990, 344с.

6. Н.В.Бутенин, Ю.И.Неймарк, Н.А.Фуфаев. Введение в теорию нелинейных колебаний. М., Наука, 1976.

7. Т.Постон, И.Стюарт. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980, 608 с.

8. Г.Шустер. Детерминированный хаос. М., Мир, 1988.

9. Постнов Д.Э. Бифуркации регулярных аттракторов. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 1996, 102 с.

10. Свиржев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987, 368 с.

11. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть I. Сценарий Фейгенбаума. // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1. N 1-2. С. 15-33.

12. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Сатаев И.Р. Критическая динамика одномерных отображений. Часть 2. Двухпараметрический переход к хаосу. // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. N 3-4. С. 17-35.

Авторы - д.ф.-м.н., профессор С.П. Кузнецов и к.ф.-м.н., доцент Л.В.Тюрюкина

Введение. Что такое динамический хаос. Основные этапы формирования представлений о динамическом хаосе.

Хаос в искусственно сконструированных динамических системах

Одномерные отображения. Отображение «зуб пилы». Символическая динамика и сдвиг Бернулли. Отображение «тент». Логистическое отображение. Замена переменных Улама–фон Неймана. Решение для динамической переменной в явном виде. Итерации в обратном времени и кодирование RL-последовательностью.

Двумерные отображения. Отображение пекаря как пример консервативной системы с хаотической динамикой. Конструирование отображения пекаря исходя из постулированной символической динамики. Наглядная интерпретация отображения пекаря и свойство перемешивания. Отображение «кот Арнольда». Определение и наглядная интерпретация с использованием изображения кота. Бесконечное множество периодических орбит. Растягивающее и сжимающее собственные направления и перемешиваемость.

Странные хаотические аттракторы. Обобщенное отображение пекаря. Аттрактор Плыкина. Соленоид Смейла–Вильямса. Гиперболичность.

Система Лоренца

Физические задачи, приводящие к уравнениям Лоренца. Конвекция Рэлея–Бенара, водяное колесо, конвекция в петле, модель одномодового лазера, осциллятор с инерционной нелинейностью. Аналитическое исследование системы Лоренца. Симметрия. Диссипативность системы Лоренца. Неподвижные точки и их исследование на устойчивость. Бифуркации в модели Лоренца. Результаты численного моделирования динамики системы Лоренца. Представление динамики с помощью приближенного одномерного отображения.

Другие примеры систем с хаотической динамикой

Модели с дискретным временем. Отображение Эно и его механическая модель. Отображение Икеды как модель нелинейного кольцевого резонатора, возбуждаемого лучом лазера. Подталкиваемый периодическими импульсами автогенератор и отображение Заславского.

Искусственно сконструированные дифференциальные уравнения. Система Рёсслера. Системы Спротта.

Нелинейные осцилляторы под периодическим внешним воздействием. Осциллятор Уэды и LR-контур с полупроводниковым диодом.

Автономные системы — электронные генераторы. Генератор Кияшко–Пиковского–Рабиновича. Генератор с инерционной нелинейностью Анищенко–Астахова. Кольцевой генератор Дмитриева–Кислова. Схема Чуа.

Сечение Пуанкаре, подкова Смейла, теорема Шильникова

Сечение Пуанкаре для автономных систем и стробоскопическое сечение для систем с периодическим воздействием: сведение динамики трехмерных систем к двумерному отображению.

Подкова Смейла. Построение модельного отображение и объяснение канторо-подобной структуры множества точек, остающихся в прямоугольной области при бесконечном числе итераций.

Теорема Шильникова: возникновение подковы Смейла и сложной динамики вблизи ситуации, когда реализуется петля сепаратрисы седло-фокуса.

Гомоклиническая и гетероклиническая структуры

Устойчивое и неустойчивое многообразия неподвижной точки и возможность их пересечения. Гомоклиническая структура и ее связь с подковой Смейла. Гетероклиническая структура. Критерий Мельникова появления гомоклинической структуры при вынужденных колебаниях нелинейного осциллятора.

Функция распределения, инвариантная мера, эргодичность и перемешивание

Статистический подход к исследованию хаотической динамики. Функция распределения и инвариантная мера. Теорема Крылова–Боголюбова о существовании инвариантной меры. Негиперболические системы и квазиаттракторы.

Эргодичность и ее роль в статистической механике. Перемешивание как более сильное свойство, необходимое для объяснения релаксации замкнутой системы к термодинамическому равновесию. Связь перемешивания с затуханием корреляций и чувствительной зависимостью от начальных условий.

Одномерные отображения: инвариантные распределения и уравнение Фробениуса–Перрона. Потоковые системы: уравнение для плотности распределения и портреты странных аттракторов в серых тонах.

Устойчивость и неустойчивость. Ляпуновские характеристические показатели.

Устойчивость по Лагранжу.

Устойчивость по Пуассону. α- и ω- предельные точки, Α- и Ω- предельные множества. Определение устойчивости по Пуассону через предельные множества и через возвраты Пуанкаре. Как соотносятся свойства возвратов Пуанкаре с характером динамического режима (периодический, квазипериодический, хаос)?

Устойчивость по Ляпунову и характеристические показатели Ляпунова. Анализ на устойчивость по линейному приближению. Геометрический смысл ляпуновских показателей и их алгебраическая интерпретация через сингулярные числа матрицы линеаризации. Ляпуновские показатели неподвижных точек и предельных циклов. Другие аттракторы и роль мультипликативной эргодической теоремы. Общие свойства спектра ляпуновских показателей для автономных потоковых систем. Классификация аттракторов по сигнатуре спектра ляпуновских показателей.

Примеры аналитического вычисления показателей Ляпунова для модельных отображений: отображение «зуб пилы», отображение «тент», обобщенное отображение пекаря.

Численные методы вычисления показателей Ляпунова. Алгоритм Бенеттина. Использование ортогонализации по Граму–Шмидту при вычислении спектра ляпуновских показателей. Примеры: логистическое отображение, отображение Эно, отображение Икеды, модель Лоренца, осциллятор Рёсслера. Двухпараметрический анализ нелинейной динамики и карты ляпуновского показателя на плоскости параметров.

Геометрия странных аттракторов и фрактальная размерность

Фрактальная структура хаотических аттракторов. Определение фракталов и простейшие примеры: множество Кантора, снежинка Коха, ковер Серпинского. Пример появления множества Кантора в динамической системе. Мера и мощность множества Кантора.

Емкость и фрактальная размерность. Определение размерности с помощью процедуры покрытия элементами одинаковой формы и размера. Размерность множества Кантора. Размерность Хаусдорфа и ее связь с емкостью. Фрактальная размерность аттрактора в обобщенном отображении пекаря.

Информационная размерность и ее роль. Корреляционная размерность и алгоритм Грассбергера–Прокаччиа. Обобщенные размерности Реньи и их вычисление для обобщенного отображения пекаря. График зависимости размерности от параметра q. Связь обобщенных размерностей с фрактальной, информационной и корреляционной.

Формула Каплана–Йорке и ляпуновская размерность.

Авторы - д.ф.-м.н., профессор С.П. Кузнецов и к.ф.-м.н., доцент Л.В. Тюрюкина

Введение

Проблема перехода к хаосу в динамических системах в зависимости от управляющего параметра. Исторические замечания: работы Ландау, Рюэля и Такенса, Фейгенбаума, Помо и Манневиля, Арнольда и др.

Задача о потере устойчивости предельного цикла и классификация сценариев. Треугольник устойчивости. Три варианта потери устойчивости предельного цикла. Роль нелинейных членов. Общее понятие о сценариях перехода к хаосу через удвоения периода, квазипериодичность, перемежаемость I, II и III типа. Проблема многопараметрического анализа перехода к хаосу и понятие коразмерности.

Каскад удвоений периода

Модельная система — логистическое отображение. Феноменология сценария перехода к хаосу через удвоения периода: бифуркационное дерево, зависимость ляпуновских показателей от параметра, эмпирическое открытие Фейгенбаумом констант скейлинга α и δ. Критическая точка. Представление о динамике в закритической области. Порядок Шарковского.

Идея ренормгруппового (РГ) анализа. Приближенный РГ анализ. Константа α. Циклы в критической точке и универсальный мультипликатор. Оценка константы δ.

Вывод функционального рекуррентного уравнения РГ. Неподвижная точка уравнения РГ и численный метод ее нахождения.

Линеаризация уравнения РГ вблизи критической точки. Задача на собственные функции и собственные значения. Понятие о методе решения. Спектр собственных чисел. Седловой характер неподвижной точки, её устойчивое и неустойчивое многообразия. Объяснение скейлинга вблизи критической точки. Замечание о зависимости решения уравнения РГ и констант скейлинга от показателя степени отображения в точке экстремума.

Свойства динамики в критической точке: наличие счётного множества неустойчивых циклов. Критический аттрактор и его фрактальные свойства. Сигма-функция. Модель в виде двухмасштабного канторова множества. Спектр Фурье в критической точке и соотношение между амплитудами субгармоник различного уровня. Спектр размерностей Реньи, скейлинг-спектр.

Перемежаемость

Перемежаемость типа I в системе Лоренца и в логистическом отображении вблизи границы окна периодичности. Касательная бифуркация и условие реинжекции. Качественная картина: образование коридора, ламинарные и турбулентные стадии. Закон скейлинга для протяженности ламинарных стадий в зависимости от надкритичности. РГ анализ перемежаемости по аналогии с теорией Фейгенбаума. Явное решение уравнения для неподвижной точки и задачи на собственные значения.

Перемежаемость типа III. Субкритическая бифуркация удвоения периода и условие реинжекции. Качественная картина: ламинарные и турбулентные стадии. Закон скейлинга для протяженности ламинарных стадий в зависимости от надкритичности. РГ анализ перемежаемости по аналогии с теорией Фейгенбаума. Явное решение уравнения для неподвижной точки и задачи на собственные значения.

Квазипериодичность

Задача о бифуркациях двумерного тора. Отображение окружности: докритический, критический и закритический случай. Карта динамических режимов и языки Арнольда. Чертова лестница.Число вращения и его представление в виде цепной дроби. Подходящие дроби. Золотое сечение и другие квадратичные иррациональности. Числа Фибоначчи и рациональные аппроксиманты для золотого сечения. Траектория на плоскости параметров, отвечающая золотому сечению. Критическая точка GM (“golden mean”).

РГ анализ динамики в критической точке GM. Идея РГ анализа — рассмотрение динамики на интервалах времени, даваемых числами Фибоначчи. Вывод РГ уравнения и его решение. Спектр линеаризованного оператора РГ. Свойства скейлинга в фазовом пространстве и пространстве параметров.

Замечание о других числах вращения: структура РГ уравнений, неподвижные точки, циклы, ренормхаос. Переход к хаосу внутри языков Арнольда: удвоения периода, трикритические точки.

1. Введение в нелинейную динамику

1.1. Основные понятия теории катастроф. Типичность, случай общего положения, вырожденный случай, коразмерность. Экстремумы функций одной и двух переменных, условие их вырождения. Построение многопараметрических моделей. Лемма Морса, лемма расщепления, теорема Тома. Каспоидные и омбилические катастрофы.

1.2. Основные понятия теории динамических систем и теории бифуркаций. Динамическая система. Дискретная система. Мультипликатор. Основные бифуркации. Модельное отображение с треугольником устойчивости.

1.3. Динамический хаос. Неустойчивость. Сценарии перехода к хаосу. Ренормгрупповой анализ.

2. Гиперболический хаос

2.1. Примеры геометрических конструкций — инвариантных множеств гиперболического типа: аттрактор Смейла–Вильямса, DA аттрактор (“Derived-from-Anosov”), аттракторы типа Плыкина.

2.2. Определение, характеристики и проявления хаоса гиперболического типа: устройство многообразий, мера Синая–Рюэля–Боуэна, метрическая энтропия, распределение инвариантной меры, марковские разбиения и символическая динамика, структурная устойчивость, воздействие шума и затенение, проявления грубости, Аксиома A, спектральное разложение, скелет аттрактора и разложение по циклам, критерий конусов.

2.3. Физический пример системы с гиперболическим аттрактором — генератор С.П. Кузнецова.

2.4. Некоторые известные сценарии рождения/разрушения соленоида Смейла–Вильямса: катастрофа «голубого неба», седло-узловой кризис, при разрушении тора, рождение из развитого хаоса.

2.5. Аттрактор Смейла–Вильямса в радиофизическом эксперименте.

2.6. Приложения гиперболического хаоса. Кодирование информации. Грубые широкополосные шумотроны. Шумовая радиолокация. Радиопротиводействие. Равномерный электромагнитный нагрев. Грубая синхронизация грубых систем. Грубая широкополосная хаотическая коммуникация.

3. Ляпуновский анализ

3.1. Линейный анализ устойчивости траекторий на аттракторе.

3.2. Локальные ляпуновские показатели, их применение для анализа гиперболических хаотических и странных нехаотических аттракторов.

3.3. Условный и трансверсальный показатели при анализе синхронизации.

3.4. Ковариантные ляпуновские вектора.

3.5. Критерий углов для анализа гиперболических и почти гиперболических аттракторов. Численные алгоритмы расчета углов между устойчивым и неустойчивым многообразиями, растягивающим и сжимающим подпространствами.

3.6. Расчет спектра показателей Ляпунова по временным рядам. Восстановление аттрактора и фазового пространства по скалярному временному ряду. Адаптация метода Бенеттина. Алгоритм Вольфа. Алгоритм Сано–Савады. Метод выявления паразитных показателей.

4. Физическая реализация абстрактных математических модельных дискретных систем со сложной динамикой

4.1. Радиофизическая система с двумя ячейками выборки-хранения, моделирующая динамику логистического отображения.

4.2. Гиперболический хаос, ассоциирующийся с фазовой динамикой. Генератор С.П. Кузнецова, состоящий из связанных осцилляторов с поочередным возбуждением.

4.3. Гиперболический хаос, ассоциирующийся с амплитудной динамикой.

4.4. Странный нехаотический аттрактор и фазовая динамика в системе связанных осцилляторов Ван дер Поля с поочередным возбуждением.

4.5. Комплексная аналитическая динамика и манипулирование медленными комплексными амплитудами в системе связанных осцилляторов с поочередным возбуждением.

4.6. Манипулирование фазами и амплитудами в кольцевой стадийной системе.

4.7. Манипулирование фазами в системах с запаздывающей обратной связью.

4.8. Манипулирование пространственными фазами в распределенных системах на примере обобщенного уравнения струны.

5. Синхронизация (избранные вопросы)

5.1. Введение: основные понятия и определения.

Исторический обзор. Что такое синхронизация? Понятие автоколебательной системы. Свойства автоколебательной системы. Основные характеристики автоколебательной системы: амплитуда, частота и период. Примеры автоколебательных систем. Релаксационные автоколебательные системы.

Понятие захвата частоты. Понятие частотной расстройки. Типы синхронизации: вынужденная синхронизация, взаимная синхронизация, хаотическая синхронизация и т.д.

5.2. Вынужденная синхронизация автоколебательных систем.

Осциллятор Ван дер Поля с гармоническим внешним воздействием. Случай малых значений амплитуды внешней силы. Уравнения для амплитуды и фазы (уравнения Адлера). Отображение окружности. Область синхронизации на плоскости амплитуда внешней силы – расстройка частот. Изохронный и неизохронный случаи. Обобщение на случаи средних и больших значений амплитуды внешней силы.

Особенности вынужденной синхронизации релаксационных колебаний. Сброс внешним импульсом. Вариация порога. Изменений собственной частоты. Особенности синхронизации ротаторов и контактов Джозефсона.

Синхронизация автоколебательной системы периодической последовательностью δ-функций. Модельная система в виде предельного цикла в виде окружности под импульсным воздействием. Осциллятор Ван дер Поля под воздействием периодической последовательности δ-функций. Уравнения для амплитуды и фазы. Отображение Гласа.

5.3. Взаимная синхронизация двух автоколебательных систем.

Синхронизация двух связанных осцилляторов Ван дер Поля – Дуффинга. Типы связи: инерционная, диссипативная и активная связь. Уравнения для амплитуд и разности фаз в случае диссипативной связи. Область синхронизации на плоскости параметр связи – параметр частотной расстройки. Синфазная и противофазная синхронизации. Эффект «гибели колебаний». Обобщение на случай инерционной и активной связи.

Взаимная синхронизация двух релаксационных осцилляторов. Синхронизация через обмен импульсами.

Обобщение понятия взаимной синхронизации на случай нескольких связанных осцилляторов. Синхронизация в одномерной цепочке осцилляторов. Система уравнений для фазовой динамики. Образование кластеров. Глобально связанные осцилляторы. Синхронизация в осциллирующей среде. Переход Курамото. Среднее поле. Обобщение на случай двумерных и трехмерных структур.

5.4. Синхронизация в присутствии шума.

Синхронизация периодических колебаний внешней силой в присутствии шума. Взаимная синхронизация в присутствии шума. Описание с помощью уравнения Ланжевена. Диффузия фазы автоколебательной системы. Проскоки фазы. Особенности синхронизации в зависимости от интенсивности шума.

5.5. Синхронизация хаотических систем.

Обобщение основных характеристик автоколебательной системы (амплитуда, период, фаза) на случай хаотических колебаний. Классический подход к синхронизации хаотических систем. Фазовая, полная и обобщенная синхронизация.

1. Введение. Фракталы как математические и геометрические объекты

Первое представление о фракталах. Фрактальные объекты в природе. Длина береговой линии. Нетривиальное поведение линий уровня. Деревья, горы, облака. Кристаллы и поверхности материалов. Определение фрактала. Работы Мандельброта («Фрактальная геометрия природы»). Иерархическая организация как основное свойство фракталов. Масштабная инвариантность, свойства подобия, степенные законы. Фрактальные размерности. Хаусдорфова размерность.

Простейшие самоподобные фракталы. Снежинка Коха, ковер Серпинского и т.д. Генераторы фракталов. Фракталы в виде точек, линий, кусков поверхности и объема. Фрактальные кривые, покрывающие плоскость. Кривые Пеано, Гильберта, драконы Хартера (построение дракона с помощью сложенного листа бумаги). Фракталы с недробной размерностью. Размерность кривой Коха (дробная) и кривой Гильберта (целая, но больше топологической).

Фрактальные функции. Фрактальные кривые Вейерштрасса — непрерывные, но не дифференцируемые ни в одной своей точке. Задача о массе «канторова стержня» и функция «чертова лестница».

Деревья и графы. Деревья Кейли и решетка Бете. Компьютерная демонстрация пифагоровых деревьев. Дерево Фарея. Представление рациональных и иррациональных чисел с помощью дерева Фарея. Суммирование дробей по Фарею («правило двоечника») и построение дерева. Бинарные коды. Алгоритм вычисления кода по заданному числу и числа по заданному коду. Связь между представлением Фарея и цепными дробями. «Кролики Фибоначчи».

2. Системы итерируемых функций и «черепашьи» алгоритмы как генераторы фракталов

Итерации линейных систем. Конструирование системы отображений, задающих салфетку Серпинского (введение комплексной переменной на плоскости и определение трех отображений, задающих вершины равностороннего треугольника). Салфетка Серпинского как аттрактор системы линейных отображений (Чтобы воспроизвести весь фрактал нужно знать вид отображений и стартовать из любой, одной-единственной точки).  Приложения: кодирование изображений и фрактальная аппроксимация.

Метод случайных итераций или игра в хаос. Правила игры на треугольнике. Связь с системой итерируемых функций. Игра на квадрате и шестиугольнике. Игры с поворотами – кривая Коха, драконы.

Сжимающие аффинные преобразования. Сжимающие аффинные преобразования на плоскости — общий случай. Фрактал «папоротник» как аттрактор сжимающего преобразования со случайными итерациями. Аналогия между аттракторами для игры в хаос и репеллерами необратимых динамических систем — отображений.

Черепашьи алгоритмы для кодирования сложных, фрактальных изображений.

3. Клеточные автоматы и игра «Жизнь»

Правила существования клеточных автоматов. Простейший клеточный автомат и треугольник Паскаля. Игра «Жизнь» как наиболее популярный из представителей. Возможности динамики игры: гибель всей популяции в игре, стабильное сосуществование нескольких особей, периодическая динамика, распространение «жизни» на всем пространстве, фрактальные структуры на плоскости. Применение игры для моделирования гидродинамических задач.

4. Ограниченная диффузией агрегация и управляемый градиентом рост

Модель управляемого градиентом роста. Уравнение Навье–Стокса. Фрактальная трансформация границы раздела двух сред с разной вязкостью. Массовая фрактальная размерность. Градиент поля скорости роста кластера.

Описание модели ограниченной диффузией агрегации. Образование фрактальных кластеров и их характерная структура в случае точечного и линейного затравочного элемента. Введение понятия диффузионного поля (вероятности прилипания к различным областям агрегата).

5. Фрактальные модели для описания статистических процессов. Броуновское движение

Броуновское движение и фрактальная модель статистического описания случайных блужданий на прямой. Свойства подобия одномерных случайных блужданий, заключающееся в инвариантности нормально распределенной плотности вероятности случайной величины, отвечающей за координату Броуновской частицы, при перенормировке пространственного характерного масштаба и одновременной соответствующей перенормировке временного масштаба. Обобщенное броуновское движение. Фрактальная размерность броуновского следа. Фрактальные свойства броуновского следа в многомерном пространстве.

6. Фрактальные сигналы, шумы и их спектры

Пример фрактального сигнала — вечно восходящие звуки Шеппарда. Пример шумового сигнала — проекция на прямую броуновского следа, приращения броуновской координаты. Понятие марковских процессов и автокоррелированных шумовых сигналов. Спектр Фурье как инструмент анализа сложных сигналов — фрактальных и шумовых. Вывод уравнения Винера–Хинчина и взаимосвязь между спектральной плотностью мощности и автокорреляционной функцией. Типы «цветных» шумов – белый шум с зависимостью распределения спектральной плотности мощьности от частоты S~1/f⁰=const, фликкер-шум с S~1/f, шум с характеристиками броуновского следа (интеграл от белого шума) с S~1/f², обобщенный шум с S~1/f^a. Понятие дробного интегро-дифференцирования. Показатель Херста, как еще один удобный инструмент анализа сложных экспериментальных временных реализаций и определения их статистических свойств. Величина показателя для разных «цветных» шумов. Понятие о персистентных и неперсистентных процессах.

7. Теория перенормировок. Перколяция

Теория протекания. Формирование фракталов на плоскости. Модели узлов и связей. Кластеры. Понятие порога протекания. Зависимость вероятности протекания всей решетки от вероятности протекания ее узлов (связей). Бесконечный кластер. Характерный размер кластера. Задачи теории протекания на решетке Бете. Процессы, для описания которых пригодна модель перколяции — лесные пожары, распространение эпидемий, ветер, протекание пористой среды, решетки связанных импедансов, переход проводник-диэлектрик и др.

8. Перенормировки и фазовые переходы

Теория перенормировок и теория фазовых переходов. Магнитное и немагнитное состояния вещества. Точка Кюри. Когерентные и некогерентные фазы. Самоподобие и фрактальность структуры сосуществования когерентных и хаотических фаз вблизи критической точки фазового перехода. Демонстрация на квадратной решетке. Представление о методе перенормировок Каданова. Математическая основа теории Вильсона. Перенормировка корреляции марковского процесса при пересчете масштаба. Введение температуры. Модель решеток Изинга и Поттса и их преобразования перенормировок.

9. Фрактальные объекты в нелинейной динамике

Бифуркационное дерево, критический аттрактор Фейгенбаума (канторово множество), «чертова лестница» в теории синхронизации и др. Фракталы и самоподобие в пространстве параметров и в фазовом пространстве. Фрактальные аттракторы (странные хаотические и нехатические инвариантные множества) и репеллеры (границы бассейнов притяжения). Бифуркации возникновения фрактальных структур в фазовом пространстве. Гомоклинические структуры. Фрактальные границы бассейнов притяжения. Механизмы фрактализации по Мира.

10. Комплексные отображения и ассоциирующиеся с ними фрактальные объекты. Множество Мандельброта и множества Жюлиа

Основные понятия теории функций комплексного переменного. Дифференцируемые функции комплексного переменного. Условия Коши–Римана. Уравнение Лапласа. Одномерные комплексные аналитические отображения как специальный класс динамических систем. Их связь с двумерными действительными отображениями.

Множество Мандельброта и множества Фату и Жюлиа как феномены КАД.

Множество Жюлиа как граница между бассейном притяжения и областью «убегания» на бесконечность квадратичного комплексного отображения. Большинство множеств Жюлиа – фракталы. Понятие времени убегания на бесконечность. Множество Фату. Внешние и внутренние углы, локальная связность и применение множества Фату для описания множества Жюлиа. Оценка размера множества Жюлиа. Связные и несвязные множества Жюлиа. Критерий связности (динамика экстремума отображения). Множество Мандельброта и его фрактальная структура. Обобщения множеств Мандельброта и Жюлиа на случай других систем (полиномиальных, рациональных, трансцендентных, неявных отображений, систем итерационных функций).

Бифуркационный анализ множества Мандельброта. «Кактус» Мандельброта. Аналогия с бифуркационным деревом. Иные, отличные от удвоений последовательности усложнения периода. Параметризация комплексного мультипликатора на кардиоиде. Универсальные константы скейлинга и оценка их величины. Граница множества Мандельброта, ее несамоподобный характер. Наполненные и дендритоподобные множества Жюлиа. Сходство множества Мандельброта и множества Жюлиа в точках Мизюревича. Множество Мандельброта и число π.

Классификация множеств Жюлиа. Гиперболическая и параболическая динамика. Параболический случай с рациональным числом вращения (цветок Ло-Фату) и с иррациональным числом вращения (диски Зигеля). Уравнение Шредера и проблема линеаризуемости (проблема «центра»). Точки Зигеля и Кремера. Эквивалентность динамики комплексного отображения на фазовой плоскости в окрестности иррациональной нейтральной неподвижной точки и динамики отображения кольца. Основные теоремы о линеаризуемости: теорема Иоккоза и теорема Брюно. Типы иррациональных чисел (диофантовы числа, числа ограниченного типа, квадратичные иррациональности). Представление иррациональных чисел в виде цепных дробей и посредством дерева Фарея. Диофантовы числа (линеаризация возможна) и числа Лиувилля (нелинеаризуемый случай — «монстр Лиувилля», свойство «малых циклов»). Кольцо Арнольда–Эрмана для рациональных комплексных отображений порядка больше 2.

Основные свойства и методы построения множеств Жюлиа. Существование трех типов нефрактальных множеств Жюлиа. Эквивалентность в прямом и обратном времени. Воспроизводимость по сколь угодно малой части. Хаотическая, эргодическая динамика на множестве. Построение путем обратного итерирования и путем нахождения неустойчивых циклов. Несколько интересных примеров множеств.

11. Уникальные свойства объектов КАД

Потенциал множества Жюлиа и множества Мандельброта. Отображение множества Жюлиа на окружность. Теорема Римана о конформных отображениях. Потенциал окружности. Итерационная формула для расчета электростатического потенциала цилиндрического заряженного проводника, сечением которого является множество Жюлиа.

Хаусдорфова размерность фрактальных объектов, возникающих в КАД. Хаусдорфова размерность границы множества Мандельброта и “кактуса” Мандельброта. Хаусдорфова размерность множеств Жюлиа для различных значений параметра (перечисление основных известных результатов). Выведение зависимости от параметра размерности множеств Жюлиа, топологически эквивалентных окружности. Скорость убегания на бесконечность. Численные значения фрактальной размерности. Оценка размерности границы диска Зигеля.

Аналитические и неаналитические отображения. Комплексные аналитические отображения как специальный класс двумерных систем. Модельные комплексные отображения с неаналитическим возмущением. Деформация множеств Мандельброта и Жюлиа. Преобразование бифуркационных точек в линии, возникновение областей квазипериодики и языков Арнольда из лепестков «кактуса» Мандельброта. Механизм фрактализации границ бассейнов притяжения двумерных необратимых систем по Мира. Понятие о критических линиях.

12. Обобщения комплексных чисел и обобщенные объекты КАД

Теорема Фробениуса о единственно возможном обобщении системы действительных чисел с сохранением всех ее основных алгебраических свойств, в том числе отсутствия делителей нуля. Вторая теорема Фробениуса о существовании алгебр, которые не имеют делителей нуля, но в которых не выполняется коммутативность или коммутативность и ассоциативность умножения. Гиперкомплексные числа. Изобретение кватернионов У. Гамильтоном (1843 г.). Кватернионы как система четырехмерных комплексных чисел (отказ от коммутативности). Октавы Кэли как восьмимерные числа (отказ от коммутативности и ассоциативности). Невозможность трехмерного обобщения комплексных чисел. Системы чисел с сохранением законов умножения, но с наличием делителей нуля. Двухкомпонентные числа: эллиптические (изоморфны комплексным), гиперболические (двойные), параболические (двойственные). Обобщенная теория функций комплексного переменного. Многокомпонентные числа, смешанные числа, финслеровы пространства. Применения гиперкомплексных чисел для описания пространств с различной симметрией. Множества Мандельброта и Жюлиа для гиперкомплексных отображений. Применение кватернионов для описания вращения (в компьютерной графике и при создании компьютерных игр).

13. Построение моделей реальных физических систем, в которых реализуются феномены КАД

Маятник в поле трех магнитов. Переход к комплексным переменным для описания двумерной задачи о движении осциллятора в поле трех притягивающих центров. Комплексное неаналитическое уравнение движения. Бассейны притяжения и их границы (фрактальные, но дифференцируемые кривые в отличие от множеств Жюлиа). Хаотические режимы и проблема «трех тел».

Динамика движения частицы в магнитном поле (задача Бека). Получение множества Мандельброта в реальной физической системе — популярное и полезное направление современных исследований в области нелинейной динамики (задача Бека — одна из первых попыток). Движение частицы на плоскости под действием непериодических внешних импульсов в зависящем от времени и скорости частицы магнитном поле при наличии нелинейного затухания. Переход к комплексным координатам. Искусственная “подгонка” характеристик системы для получения аналитического комплексного уравнения движения. Возникновение множества Мандельброта на плоскости амплитуд внешних импульсов.

Реализация множества Мандельброта для связанных систем. Сведение комплексного отображения к связанным вещественным отображениям (симметричная и антисимметричная замены переменных). Динамика связанных логистических отображений при различных параметрах связи - три характерных типа карт режимов. Аналогия с тремя типами обобщенных комплексных чисел. Получение изображения множества Мандельброта в эксперименте с электронным аналоговым устройством. Система связанных нелинейных осцилляторов с периодическим воздействием.

14. Приложения объектов КАД и их свойств

Проблема сходимости метода Ньютона (задача Кэли). Уравнение f(x) = 0 может иметь комплексные корни. Обобщенный на комплексный случай итерационный численный метод Ньютона (метод касательных) для поиска корней. Исследование сходимости метода в зависимости от начального приближения. Множество Жюлиа как граница между областями сходимости к различным корням. Случай двух корней — граница является равноудаленной от корней прямой. В случае трех корней реализуется не гладкая (“пирог Ньютона”) граница, а фрактальная (множество Жюлиа, каждая точка которого является трехсторонней). Интерпретация множества Мандельброта на плоскости параметров и плоскости комплексифицированного шага. Области расхождения метода — вне множества Мандельброта. Периодические лепестки М — области «зацикливания» метода. Итерационная формула Ньютона как дискретная Эйлерова модель дифференциального уравнения. Переход к непрерывному времени (к обратимости во времени) дает гладкую сепаратрису.

Описание неоднородных эмиссионных поверхностей ряда материалов (алмазоподобные пленки, тубелены, пористый кремний) моделью фрактального катода. Использование возможности вычисления полевых характеристик фрактального катода, заданного множеством Жюлиа. Связь эмиссионных свойств катода с его фрактальной размерностью.

Агрегация фрактальных кластеров. Визуальная аналогия фрактальных кластеров, возникающих для модели ограниченной диффузией агрегации, с дендритоподобными множествами Жюлиа. Проведение аналогии между понятием диффузионного поля и электростатическим полем множества Жюлиа.

Теория фазовых переходов. Теория Ли-Янга о нулях статистической суммы (выход на комплексную плоскость температур). Множество Жюлиа как фрактальная фазовая граница. Термодинамический потенциал – потенциал множества Жюлиа. Фазовые переходы 1-го и 2-го рода. Интерпретация множества Мандельброта. Новые фазовые состояния (модулированная фаза и др.).

Теория перколяции. Комплексификация итерационного вероятностного отображения для модели протекания. Множество Жюлиа как граница области перколяции. Динамика иерархических цепочек импедансов.

15. Странный нехаотический аттрактор

Понятие странного нехаотического аттрактора (СНА). Простейшие примеры СНА: Модель с бифуркацией вилки с квазипериодическим воздействием, логистическое отображение с квазипериодическим воздействием, модель с касательной бифуркацией и с квазипериодическим воздействием, отображение окружности с квазипериодическим воздействием.

Фрактальная структура и размерность СНА. Спектральные свойства СНА. Показатели Ляпунова СНА и показатели, определенные на конечном времени. Показатель фазовой чувствительности. Метод рациональных аппроксимаций и природа СНА. Бифуркации в системах с квазипериодическим воздействием и сценарии рождение СНА.

Экспериментальное наблюдение феноменов, связанных с присутствием СНА (обзор).

Неустойчивости в средах с отрицательным поглощением. Универсальная модель динамики амплитуды волны в окрестности порога неустойчивости. Абсолютная, конвективная и глобальная неустойчивости. Критерии характера неустойчивости: оценка асимптотического поведения возмущения с помощью метода перевала и с помощью функции Грина. Уравнение Гинзбурга–Ландау. Примеры: течение Пуазейля, конвекция Рэлея–Бенара, колебательные химические реакции. Неустойчивость стационарных бегущих волн (модуляционная неустойчивость). Нелинейная динамика уравнения Гинзбурга–Ландау, переход к пространственно-временному хаосу (турбулентности). Амплитудная и фазовая турбулентность. Динамическая модель пространственного развития турбулентности.

Неустойчивости в системах взаимодействующих волн с положительной и отрицательной энергией. Примеры волн с отрицательной энергией. Абсолютная и конвективная неустойчивость при двухволновом взаимодействии, дисперсионные соотношения и дисперсионные диаграммы. Неустойчивости в системе электронный поток–бегущая электромагнитная волна. Лампы бегущей и обратной волны. Дисперсионное уравнение и анализ характера неустойчивости. Переход абсолютной неустойчивости в конвективную при сильной диссипации. Разделение конвективной неустойчивости и непропускания, критерий Берса–Бриггса.

Неустойчивости в системе двух взаимодействующих электронных потоков. Пример: электронно-волновая лампа. Анализ характера неустойчивости при нулевой групповой скорости одной из волн. Пример: взаимодействие электронного пучка с неподвижной плазмой. Неустойчивость при взаимодействии электронного потока с электромагнитной волной вблизи границы полосы пропускания. 

Взаимодействие электромагнитного излучения со средой из двухуровневых частиц. Двухуровневая среда, уравнения Блоха. Осцилляции Раби. Полуклассическое описание взаимодействия излучения с двухуровневой средой: уравнения Максвелла–Блоха. Ультракороткий лазерный импульс в неинвертированной среде. Самоиндуцированная прозрачность. Теорема площадей. Распространение солитонов.
Взаимодействие излучения с инвертированной средой, усиление ультракоротких лазерных импульсов. Предел неподвижных атомов: уравнение Sin-Гордона и его автомодельные решения (π-импульсы).

Неустойчивость в полупроводнике с отрицательной дифференциальной проводимостью. Понятие о междолинном переносе электронов. Эффект Ганна. Качественная картина образования доменов. Дисперсионное соотношение и его анализ. Критерий абсолютной/конвективной неустойчивости. Пространственный инкремент неустойчивости. Стационарные нелинейные волны в ганновском полупроводнике. Правило равных площадей. Домен Ганна как автосолитон. Анализ устойчивости стационарных волн. Лавинно-пролетный диод.

Неустойчивости в химических системах типа «реакция–диффузия». Брюсселятор Пригожина–Лефевра — модель автоколебательной химической реакции. Влияние диффузии, распределенный брюсселятор. Неустойчивости Хопфа и Тьюринга. Диссипативные структуры и проблема морфогенеза.
Абсолютная и конвективная неустойчивость в системе «брюсселятор с потоком». Результаты численного моделирования, приближенное аналитическое описание вблизи порога неустойчивости. Потоково–диффузионные структуры.

Метод обратной задачи рассеяния (ОЗР). Преобразование Миуры–Гарднера и законы сохранения уравнения КдВ. О методе обратной задачи рассеяния для уравнения КдВ. Задача на собственные значения для уравнения Шредингера. Дискретный и непрерывный спектр собственных значений. Обратная задача: уравнение Гельфанда–Левитана–Марченко. Случай чисто дискретного спектра: многосолитонные решения. Картина взаимодействия двух солитонов. Понятие о полной интегрируемости нелинейных уравнений в частных производных. Дальнейшее развитие метода ОЗР. ОЗР в формулировке Лакса. Иерархия интегрируемых уравнений. Задачи рассеяния Захарова–Шабата и Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура.

Метод Хироты. Применение метода Хироты для нахождения многосолитонных решений нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных. Примеры: Уравнение КдВ. Модифицированное уравнение КдВ. Бризеры. Уравнение Sin-Гордона. Нелинейное уравнение Шрёдингера.

Преобразования Бэклунда. Преобразования Бэклунда для уравнения Sin-Гордона. Преобразования Бэклунда для уравнения КдВ. Преобразование Коула–Хопфа для уравнения Бюргерса.

Свойство Пенлеве. Классификация особых точек функций комплексной переменной. Неподвижные и подвижные особые точки. Задача Ковалевской о волчке. Свойство Пенлеве и его применение для поиска интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Примеры: система Хенона–Хейлеса, система Лоренца. Свойство Пенлеве для уравнений в частных производных. Метод Вайса–Табора–Карнивейля. Примеры: уравнение Бюргерса, уравнение КдВ.

Элементы группового анализа дифференциальных уравнений. Однопараметрическая группа преобразований Ли. Уравнения Ли. Инфинитезимальный оператор группы преобразований. Инварианты. Групповой анализ ОДУ. Интегрирование ОДУ, допускающих группы преобразований. Групповой анализ уравнений в частных производных. Группа преобразований линейного уравнения теплопроводности. Группы преобразований различных нелинейных уравнений: нелинейного уравнения теплопроводности, уравнения Бюргерса, уравнений КдВ и Sin-Гордона. Автомодельные решения.